关于链不规则图的正则性、平面性与边界

若图 $G$ 中任意两个互异顶点的链不可同构，则称 $G$ 为链不规则图。图 $G$ 中顶点 $v$ 的链是由 $v$ 的邻居在 $G$ 中诱导的子图。Ali、Chartrand 和 Zhang 于 [Discussiones Mathematicae. Graph Theory, 45(1) (2025) p.95] 猜想不存在链不规则的正则图。本文证明，对于足够大的 $r$，存在 $r$ 倍正则链不规则图的可能性很大。具体地，我们给出一个具有 12 个顶点且为 7 倍正则的链不规则图，作为对该猜想的反例。此外，我们证明不存在二分图链不规则图，且不存在在 $n$ 个顶点的正则链不规则图，其中 $n \leq 9$。我们还确定链不规则图边数的上界和下界。进一步地，我们证明具有 $n$ 个顶点的链不规则图的最小边数为 $\Omega(n\sqrt{\log n})$。最后，我们证明除有限多个例外外，所有链不规则图都是非平面图，且不存在正则链不规则平面图。