拟平面图、弦图与 Erdos-Gallai 问题

一个 $r$-拟平面图是指平面中绘制且无 $r$ 条两两相交边的图。设 $s \geq 3$ 为整数且 $r=2^s$。我们证明存在一个常数 $C$，使得每个具有 $n \geq r$ 个顶点的 $r$-拟平面图至多拥有 $n\left(Cs^{-1}\log n\right)^{2s-4}$ 条边。一个图，其顶点为平面中的连续曲线，若两条曲线相交则对应两顶点间连一条边，称为弦图。我们证明对任意 $\epsilon>0$，存在 $\delta>0$，使得每个具有 $n$ 个顶点且色数至少为 $n^{\epsilon}$ 的弦图包含一个大小至少为 $n^{\delta}$ 的团。该大小的团或使用少于 $n^{\epsilon}$ 种颜色的着色，可通过关于弦集合几何表示规模的多项式时间算法求得。在此过程中，我们运用、推广并强化了 Lee、Tomon 等人先前的结果。我们的所有定理均与下述 Erdos、Gallai 和 Rogers 的经典图论问题的几何变体相关：给定一个含 $n$ 个顶点且无 $K_r$ 的图与一个整数 $s<r$，我们至少能找到多少个顶点使得它们诱导的子图无 $K_s$？