图的翻转着色 II

我们就最近引入的\textit{图的翻转着色}中的两个问题给出了结果。对于满足 $b < r$ 的正整数 $b, r$，如果一个 $b + r$ 正则图存在一种红/蓝边着色，使得每个顶点的红色度为 $r$，蓝色度为 $b$，但在每个顶点的闭邻域中蓝色边的数量多于红色边，则称该图为 $(b,r)$-\textit{翻转图}。我们证明了对于满足 $4 \leq b < r < b + 2 \left\lfloor\frac{b+2}{6}\right\rfloor^2$ 的整数 $b, r$，可以在 $\Theta(b+r)$ 个顶点上构造小型的 $(b,r)$-翻转图。此外，我们证明了存在 $k$-翻转序列 $(a_1, \dots, a_k)$，其中 $k > 4$，使得当 $1 \leq i < \frac{k}{4}$ 时 $a_i$ 为常数，而 $a_k$ 可以任意大。