单位根处的 $q$-交换幂级数环与洛朗级数环

我们继续第一和第二作者对 $q$-交换幂级数环 $R=k_q[[x_1,\ldots,x_n]]$ 和洛朗级数环 $L=k_q[[x^{\pm 1}_1,\ldots,x^{\pm 1}_n]]$ 的研究，专门讨论交换参数 $q_{ij}$ 均为单位根的情形。在此设定下，$R$ 是一个 PI 代数，我们可以应用 De Concini、Kac 和 Procesi 的结果证明 $L$ 是一个 Azumaya 代数，其次数可由 $q_{ij}$ 推断。我们的主要结果建立了一个精确的判据（依赖于 $q_{ij}$），用于确定 $L$ 和 $R$ 的中心何时分别为交换洛朗级数环和交换幂级数环。若该判据得到满足，则可推出 $L$ 是 Chatters 和 Jordan 意义下的唯一分解环；进一步根据 Dumas、Launois、Lenagan 和 Rigal 的结果，可推出 $R$ 也是唯一分解环。由此，我们产生了完备、局部、Noether、非交换唯一分解环（为 PI 整环）的新实例。