论光滑与节点平面曲线的投影

设 $C\subset\mathbb P^2$ 为次数 $>2$ 的一般节点平面曲线，$\nu\colon \hat C\to C$ 为其正规化，$\pi\colon \hat C\to\mathbb P^1$ 为一个有限态射，其分支点集与投影 $\mathrm{pr}_p\circ \nu\colon\hat C \to \mathbb P^1$ 相同，其中 $p\in\mathbb P^2\setminus C$（若 $\mathrm{deg}\, C=3$，则需额外假设 $\deg\pi\ne4$）。我们证明：态射 $\pi$ 等价于此类投影，当且仅当它可延拓为有限态射 $X\to(\mathbb P^2)^*$，且该态射在 $C^*$ 上分支，其中 $X$ 为光滑曲面。作为推论，我们证明了关于映射在一般节点曲线（任意次数 $\ge3$，光滑三次曲线的对偶除外）的对偶曲线上分支的 Chisini 猜想；这一结果加强了 Victor Kulikov 的一项结论。