关于与某些非 Lazard 括号相关的预李环

设 $A$ 是一个基数为 $p^{n}$ 的括号，其中 $p$ 为某个素数。假设 (i) 括号 $A$ 的加法群秩小于 $p-3$，或 (ii) $A^{\frac {p-1}2}\subseteq pA$，或 (iii) 对每个 $i$，$p^{i}A$ 是 $A$ 中的理想。我们证明存在一个与括号 $A$ 相关的预李环。该预李环的左幂零指数可以任意大。设 $A$ 是一个基数为 $p^{n}$ 的括号，其中 $p$ 为某个素数。记 $ann(p^{i})=\{a\in A: p^{i}a=0\}$。假设对 $i=1,2,\ldots$ 以及所有 $a,b\in A$，有 $$a*(a*(\cdots *a*b))\in pA, a*(a*(\cdots *a*ann(p^{i})))\in ann(p^{i-1})$$ 其中 $a$ 在该表达式中出现的次数少于 $\frac {p-1}4$。设 $k$ 满足 $p^{k(p-1)}A=0$。我们证明括号 $A/ann(p^{4k})$ 可由一个左幂零预李环通过一个仅依赖于括号 $A$ 的加法群的公式得到。我们还得到了该结果的一些应用。