关于 $C(K)$ 空间的正嵌入

我们研究了连续函数 Banach 空间之间的同构嵌入 $T: C(K)\to C(L)$。我们证明，如果此类嵌入 $T$ 是一个正算子，那么 $K$ 是 $L$ 在具有有限值的上半连续集函数下的像。此外，我们证明 $K$ 拥有一个 $\pi$-基，其集合的闭包是 $L$ 的紧子空间的连续像。我们的结果特别表明，如果 $C(K)$ 可以正嵌入到 $C(L)$ 中，那么 $L$ 的某些拓扑性质（如可数紧性或 Fréchet 性）会传递给空间 $K$。我们还表明，某些任意的同构嵌入 $C(K)\to C(L)$ 在某种意义上可以归结为正嵌入。