关于二维硬盘的渗流

我们考虑 $\mathbb{R}^2$ 中的硬核模型，其中以强度参数 $\lambda$ 采样一组随机的非相交单位圆盘。给定 $\varepsilon>0$，我们考虑这样一个图：若两个圆盘彼此距离 $\leq \varepsilon$ 则相邻。我们证明当 $\lambda$ 大于某个依赖于 $\varepsilon$ 的阈值时，该图 $G$ 是高度连通的。具体而言，给定一个内半径 $L_1$、外半径 $L_2$ 的正方形环域，环域被 $G$ 穿越的概率至少为 $1 - C \exp(-cL_1)$。作为推论，我们证明了若强度 $\lambda$ 足够大（依赖于 $\varepsilon$），则吉布斯态允许 $G$ 存在一个无限连通分支。