精细图容器引理及其在二部扩展图硬核模型上的应用

我们建立了 Galvin 提出的图容器引理的一个精细版本，并讨论了与二部扩展图上的硬核模型相关的几个应用。给定图 $G$ 和 $\lambda>0$，$G$ 上活动度为 $\lambda$ 的硬核模型是 $G$ 中独立集上的概率分布 $\mu_{G,\lambda}$，定义为 $\mu_{G,\lambda}(I)\propto \lambda^{|I|}$。作为我们的主要应用之一，我们证明了超立方体 $Q_d$ 上活动度为 $\lambda$ 的硬核模型在 $\lambda= \Omega( \log^2 d/d^{1/2})$ 时表现出“结构化相”，其含义如下：在 $\mu_{Q_d,\lambda}$ 的典型样本中，大多数顶点包含在 $Q_d$ 二部划分的一侧。这改进了 Galvin 对于 $\lambda=\Omega(\log d/ d^{1/3})$ 建立的相同结论。作为另一个应用，我们为 $d$-正则二部 $\alpha$-扩展图（固定 $\alpha>0$）上活动度为 $\lambda= \Omega( \log^2 d/d^{1/2})$ 的硬核模型建立了一个完全多项式时间近似方案（FPTAS）。这改进了第一作者与 Perkins 和 Potukuchi 给出的界限 $\lambda=\Omega(\log d/ d^{1/4})$。我们讨论了对 Galvin-Tetali、Balogh-Garcia-Li 以及 Kronenberg-Spinka 结果的类似改进。