关于周期算符在 Brillouin 区内出现谱边缘的问题

本文讨论了关于数学物理中周期算符（例如 Schroedinger、Maxwell、波导算符等）谱结构的如下频繁出现的问题。是否仅通过使用准动量取遍（约化）Brillouin 区边界而非整个区的值，就能得到正确的谱？或者，谱边缘是否必然出现在“角点”高对称点集上？已知在一维情形这是正确的，而在高维情形则无明显理由成立。然而在许多实际情形中这似乎是正确的，这有时导致声称其总是成立。文献中似乎没有确定答案，且学界对此问题存在不同意见。在本文中，从简单的离散图算符出发，我们构造了多种令人信服的多周期例子，表明谱边缘可能出现在 Brillouin 区深处。另一方面，也证明了在“一般”情形下，谱边缘出现在高对称点上的情况在微小扰动下是稳定的。这在某种程度上解释了为何在许多（甚至大多数）实际情形中该论断仍然成立。