关于幂零群与共轭类

设 $G$ 为幂零群，$a\in G$。令 $a^G=\{g^{-1}ag\mid g\in G\}$ 为 $a$ 在 $G$ 中的共轭类。假设 $a^G$ 与 $b^G$ 是 $G$ 的共轭类，满足 $|a^G|=|b^G|=p$，其中 $p$ 为奇素数。置 $a^G b^G=\{xy\mid x\in a^G, y\in b^G\}$。则要么 $a^G b^G=(ab)^G$，要么 $a^G b^G$ 是至少 $\frac{p+1}{2}$ 个不同共轭类的并。作为前述结果的应用，对任意幂零群 $G$ 及任意大小为 $p$ 的共轭类 $a^G$，我们用 $G$ 的共轭类描述 $a^G$ 的平方 $a^G a^G$。