斜常循环码之间的 $(n,\sigma)$-等价关系

在本文中，我们将 Chen 等人在 \cite{Chen2014} 中引入的 $n$-等价关系（用于分类有限域 $\mathbb{F}_q$ 上长度为 $n$ 的常循环码，其中 $q=p^r$ 为素数幂）推广到无导子的斜常循环码情形。我们称此关系为 $(n,\sigma)$-等价关系，其中 $n$ 为码长，$\sigma$ 为有限域的自同构。我们计算了 $(n,\sigma)$-等价类的数量，并给出了关于 $\lambda$ 和 $\mu$ 的条件，使得 $(\sigma, \lambda)$-常循环码与 $(\sigma, \lambda)$-常循环码相对于我们的 $(n,\sigma)$-等价关系等价。在 $n$ 和 $q$ 的某些条件下，我们证明了斜常循环码等价于循环码。我们还证明了当 $q$ 为偶数且 $\sigma$ 为 Frobenius 自同构时，若 $\gcd(n,r)=1$，长度为 $n$ 的斜常循环码等价于循环码。最后我们给出了一些例子作为此处所发展理论的应用。