有限域上多循环码家族的等价性

本文研究作用于有限域上形式为 $x^n - a_{n-1}x^{n-1} - \ldots - a_1x - a_0$ 的多循环码家族的等价性。我们首先关注形式为 $x^n - a_{\ell} x^{\ell} - a_0$（其中 $0< \ell <n$）的多循环码,称其为$\ell$-三项式码。随后推广到一般多循环码。我们引入一种称为 $n$-等价的等价关系,该关系扩展了已知的循环码 $n$-等价概念。我们计算 $n$-等价类别的数量 %,并提供两种多循环码（或 $\ell$-三项式码）家族等价的条件。特别地,我们证明当 $\gcd(n, n-\ell) = 1$ 时,任何$\ell$-三项式码家族都等价于与多项式 $x^n - x^{\ell} - 1$ 相关的三项式码家族。最后,我们关注长度为 $p^{\ell+r}$ 的 $p^{\ell}$-三项式码,其中 $p$ 为 $\mathbb{F}_q$ 的特征,并给出一些示例作为本文发展理论的应用。