关于 α-凹函数的 Minkowski 对称化及其相关应用

引入了 $\alpha$-凹函数的 Minkowski 对称化，并推导了其若干基本性质。结果表明，对给定的 $\alpha$-凹函数，存在一列 Minkowski 对称化，其下收敛于它的“下对称化”。作为一个应用，我们证明了 log-凹函数 $f$ 的下对称化总比 $f$ 本身更难用具有固定断点数的“内 log-线性化”来逼近。这是经典几何结果的泛函类比，该几何结果指出：在给定平均宽度的所有凸体中，欧氏球最难用具有固定顶点数的内接多面体来逼近。最后，我们推导了下对称化的一般极值性质，它将一个 Urysohn 型不等式及上述逼近结果作为特例包含在内。