对称群与交错群元素最小多项式的研究

设 $(\rho, V)$ 为对称群 $S_n$（或交错群 $A_n$）的不可约表示，设 $g$ 为具有 $n$ 个字母的置换，且其所有循环长度均可被其最大循环长度整除。我们完全描述了 $\rho(g)$ 的最小多项式，显示在大多数情况下，它等于 $x^{o(g)} - 1$，仅有少数明确的例外。作为副产品，我们获得了一种仅使用组合数学和表示论的斯万森（Swanson）定理的新证明，该定理给出给定形状和模 $n$ 的主要指数 $r$ 的标准 Young 表的存在性的必要充分条件。由此，我们给出了克利亚克（Klyachko）关于李元素在张量代数中的一个著名结果以及对 Sundaram 对 $n$ 循环是否存在不变向量的猜想的新证明。我们还显示，对于 $S_n$ 或 $A_n$ 中阶为偶数的元素，在大多数情况下，$\rho(g)$ 的特征值为 $-1$，仅有少数明确的例外。