关于具有给定模主指标的标准杨表的存在性

我们给出了对于给定的形状和主指标 $r$ mod $n$（对所有 $r$）的标准杨表存在的简单充要条件。我们的结果推广了本质上源于 (1974) 的 $r=1$ 情形，并证明了 Sundaram (2016) 最近提出的 $r=0$ 情形的猜想。证明的一个副产品是对于“几乎所有”形状的一个渐近等分布结果。证明使用了一个涉及拉马努金和(Ramanujan sums)与归一化对称群特征标估计的表示论公式。进一步给出了涉及“相反”钩长(opposite hook lengths)的估计，这些估计很好地适用于分类哪些分区 $\lambda \vdash n$ 满足 $f^\lambda \leq n^d$（固定 $d$）。我们还给出了 Fomin-Lulov (1995) 关于矩形上对称群特征标的钩长公式推广的一个新证明。最后我们对对称群特征标的单峰性作了一些评注。