关于一致序下的极小 Copula

在本文中，我们研究极端负相依，聚焦于 copula 的一致序。由于维度 $d\ge$ 3 时不存在最小元，所有 copula 集合中的全体极小元集合成为一个自然且十分重要的极端负相依概念。我们考察了若干充分条件并给出 copula 为极小的必要条件：充分条件与 d-反单调性的极端负相依概念相关，必要条件与最小化多元 Kendall's tau 的全体 copula 集合相关。极小 copula 概念已被证明在各种连续且保一致序的优化问题（包括方差最小化与某些一致度量下界的探测）中有用。我们通过证明 copula 上每个连续且保一致序的泛函都被某个极小 copula 最小化，且在连续泛函甚至严格保一致序时仅被极小 copula 最小化，来确证极小 copula 的这一关键作用。应用上述结果，我们可得出结论：Spearman's rho 的每个最小化元亦是 Kendall's tau 的最小化元。