关于theta函数之和的最小值与Mueller-Ho猜想

令 $z=x+iy \in \mathbb{H}:=\{z= x+ i y\in\mathbb{C}: y>0\}$ 且 $\theta (s;z)=\sum_{(m,n)\in\mathbb{Z}^2 } e^{-s \frac{\pi }{y }|mz+n|^2}$ 为与格点 $\Lambda ={\mathbb Z}\oplus z{\mathbb Z}$ 相关的theta函数。本文考虑如下一对最小化问题 $$\min_{ \mathbb{H} } \theta (2;\frac{z+1}{2})+\rho\theta (1;z),\;\;\rho\in[0,\infty),$$ $$\min_{ \mathbb{H} } \theta (1; \frac{z+1}{2})+\rho\theta (2; z),\;\;\rho\in[0,\infty),$$ 其中参数 $\rho\in[0,\infty)$ 表示两个交织格点之间的竞争。我们发现随着 $\rho$ 变化，最优格点呈现出一种新颖的模式：它们从矩形（长短边之比由 $\sqrt3$ 变为 1）、正方形、菱形（角度由 $\pi/2$ 变为 $\pi/3$）移动到六边形；此外，存在一个 $\rho$ 的闭区间使得最优格点恒为正方形格点。这与单个theta函数（$\rho=\infty$ 情形）的最优格点形状形成鲜明对比，后者中六边形格点占优。作为推论，我们对Mueller-Ho \cite{Mue2002} 所猜想（并已通过数值与实验验证）的玻色-爱因斯坦凝聚体竞争系统中涡旋的最优格点排布给出了部分回答。