晶格的极化：稳定的冷点与球面设计

我们考虑寻找非均匀高斯晶格和的最小化问题：给定晶格 $L \subseteq \mathbb{R}^n$ 和正常数 $\alpha$，目标是找到 $\sum_{x \in L} e^{-\alpha \|x - z\|^2}$ 对所有 $z \in \mathbb{R}^n$ 的最小化者。通过 2017 年 B\'etermin 和 Petrache 的结果已知，当 $\alpha$ 趋于无穷大时，即对应陡峭势能函数的情况，极小值在极限中位于晶格的深孔处。在本文中，我们考虑那些在某个有限的 $\alpha_0$ 以上所有 $\alpha \geq \alpha_0$ 就已稳定的极小值；我们称这些极小值为稳定冷点。一般晶格不存在稳定冷点。对于许多重要晶格，如根晶格、Coxeter-Todd 晶格和 Barnes-Wall 晶格，我们展示如何应用球面设计的线性规划界来证明深孔是稳定冷点。我们还展示，出人意料地，Leech 晶格不存在稳定冷点。