极小软晶格 theta 函数

我们研究一类新型“软”theta 函数的极小性性质。对于晶格 $L\subset \mathbb{R}^d$、一个 $L$-周期质量分布 $\mu_L$ 以及另一个以 $z\in \mathbb{R}^d$ 为中心的质量 $\nu_z$，对所有缩放参数 $\alpha>0$，我们定义平移晶格 theta 函数 $\theta_{\mu_L+\nu_z}(\alpha)$ 为 $\nu_z$ 与 $\mu_L$ 之间的高斯相互作用能。我们证明，在点情形 $\mu=\nu=\delta_0$ 下成立的任何严格局部或全局极小性结果，当测度关于 $L\cup \{z\}$ 中的点径向对称并在其周围充分重缩放（即小尺度下）时，对映射 $L\mapsto \theta_{\mu_L+\nu_0}(\alpha)$ 与 $z\mapsto \theta_{\mu_L+\nu_z}(\alpha)$ 亦成立。当径向对称测度由完全单调核生成时，还证明了所有尺度下的极小性。方法基于广义 Jacobi 变换公式、晶格能的一些标准积分表示以及逼近论证。此外，对于蜂窝晶格 $\mathsf{H}$，证明了任意原始蜂窝的中心使 $z\mapsto \theta_{\mu_{\mathsf{H}}+\nu_z}(\alpha)$ 极小，并给出了对其他具物理相关性的特定晶格（包括三角、平方、立方、正交、体心立方与面心立方晶格）的诸多应用。