二维晶格能的局部变分研究及其在 Lennard-Jones 型相互作用中的应用

本文关注二维有限 Bravais 晶格中每点的能量。我们计算了这些能量的一阶和二阶导数。我们证明了在正方形晶格和三角晶格处的 Hessian 矩阵是对角的，并给出了这些晶格具有局部极小性的简单充分条件。此外，我们将结果应用于在许多物理和生物模型中显得准确的 Lennard-Jones 型相互作用势。本研究的目的是理解 Lennard-Jones 晶格能的极小值如何随点的密度变化。考虑固定面积 $A$ 的晶格，我们找到了 $A$ 必须所属的最大开集，使得三角晶格在面积为 $A$ 的晶格中是极小化子（相应地，极大化子）。类似地，我们找到了 $A$ 必须所属的最大开集，使得正方形晶格是极小化子（相应地，鞍点）。最后，基于在菱形和矩形晶格中的数值研究和严格结果，我们针对经典 Lennard-Jones 每点能量关于其面积的极小性提出了一个完整的猜想。特别地，我们证明了当面积足够大时，极小化子是矩形晶格。