theta函数之差的最小值及其在六方晶化中的应用

令 $z=x+iy \in \mathbb{H}:=\{z= x+ i y\in\mathbb{C}: y>0\}$ 且 $\theta (\alpha;z)=\sum_{(m,n)\in\mathbb{Z}^2 } e^{-\alpha \frac{\pi }{y }|mz+n|^2}$ 为与格点 $L ={\mathbb Z}\oplus z{\mathbb Z}$ 相关的 theta 函数。本文考虑如下两个 theta 函数之差的最小化问题 \begin{equation}\aligned\nonumber \min_{ \mathbb{H} } \Big(\theta (\alpha; z)-\beta\theta (2\alpha; z)\Big) \endaligned\end{equation} 其中 $\alpha \geq 1$ 且 $\beta \in (-\infty, +\infty)$。我们证明存在一个临界值 $\beta_c=\sqrt2$（与 $\alpha$ 无关），使得若 $\beta\leq\beta_c$，极小元为 $\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt3}{2}$（模平移与旋转），对应六方格点；若 $\beta>\beta_c$，则极小元不存在。我们的结果部分回答了 \cite{Bet2016, Bet2018, Bet2020, Bet2019AMP} 中提出的一些问题，并给出了 Yukawa 势下六方格点晶化的一个新证明。