格上 theta 函数最小化的降维技术

我们考虑通过降低问题维度来最小化格 $\Lambda\subset \mathbb R^d$ 上的 theta 函数 $\theta\_\Lambda(\alpha)=\sum\_{p\in\Lambda}e^{-\pi\alpha|p|^2}$，其动机源于 $d=3$ 的情形，此时极小值点被认为是 BCC 或 FCC 格。第一种降维方法是考虑层状格，并在具有不同层重复序列的竞争者中，或在具有不同层间相对平移的竞争者中进行最小化。第二种情形也引出了在平移格上最小化 theta 函数的问题，即最小化 $(L,u)\mapsto \theta\_{L+u}(\alpha)$。另一种降维方法是考虑具有乘积结构的格，或连续在同心层上进行最小化。第一个方向引出了在正交晶格中进行最小化的问题，而第二个方向则与渐近性问题相关，我们在二维情形下对此进行了详细研究。