$l_p$ 球的最大超平面截面（$p>2$）

$l_\infty^n$ 球的最大超平面截面，即 $n$ 立方体，其垂直于 $1/\sqrt 2 (1,1,0, ...,0)$。Eskenazis、Nayar 和 Tkocz 将此结果推广到 $l_p^n$ 球中 $p \ge 10^{15}$ 的情形。Oleszkiewicz 指出，Ball 的结果对 $l_p^n$ 中的 $2 < p < p_0 \simeq 26.265$ 不成立。当 $n$ 较大时，垂直于主对角线的超平面截面可提供反例。我们证明，$l_p^n$ 球中所有法向单位向量 $a$ 的超平面截面的类似Ball结果成立，当且仅当 $a$ 的所有坐标的模均 $\le \frac 1 {\sqrt 2}$ 且 $p$ 与偶数之间的距离 $\ge 2^{-p}$。在类似假设下，我们给出 $20 < p < p_0$ 的高斯上界。