$\ell_p$ 中立方体切片性质的稳健性

Ball 著名的立方体切片定理（1986）断言，在 $\mathbb{R}^n$ 中立方体的超平面截面里，正交于 $(1,1,0,\dots,0)$ 的中央截面具有最大体积。我们证明对于 $p > 10^{15}$ 的 $\ell_p$ 球切片，以及对于 $1 < q < 1 + 10^{-12}$ 的 $\ell_q$ 球投影，同样结论分别成立：同一超平面使 $\ell_p$ 球截面体积最大，并使 $\ell_q$ 球投影体积最小。这推广了 Szarek 的最优 Khinchin 不等式（1976），后者对应 $q=1$。这些结果因而在 $2 < p < \infty$ 与 $1 < q < 2$ 范围内探讨了 Ball–Szarek 超平面的稳健性，自 Koldobsky（1998）、Barthe–Naor（2002）与 Oleszkiewicz（2003）的工作以来，该范围内极值元的分析一直难以捉摸。