关于范数球及其线性映射间豪斯多夫距离的一个注记

我们考虑在有限维欧氏空间中计算单位 $\ell_{p_{1}}$ 与 $\ell_{p_{2}}$ 范数球之间的（双侧）豪斯多夫距离问题，其中 $1 \leq p_1 < p_2 \leq \infty$，并推导其闭式公式。我们还推导了 $k_1$ 与 $k_2$ 单位 $D$-范数球间豪斯多夫距离的闭式公式，它们是 $d$ 维中 $1 \leq k_1 < k_2 \leq d$ 的某些多面体范数球。当两个不同的 $\ell_p$ 范数球通过公共线性映射变换时，我们获得所得凸集间豪斯多夫距离的若干估计。这些估计根据线性映射是任意或随机，对豪斯多夫距离或其期望给出上界。我们随后将相关结论推广到通过对不同 $\ell_p$ 单位范数球施加参数化线性映射族、并在极限意义下取所得集合的闵可夫斯基和所得到的两个集值积分间的豪斯多夫距离。为说明一种应用，我们展示计算具有不同单位范数球值输入不确定性的线性动力学系统可达集间豪斯多夫距离的问题，可归约为该集值积分设定。