关于希尔伯特类多项式模 $p$ 的 $\mathbb{F}_p$-根

附着于虚二次域 $K$ 中阶 $\mathcal{O}$ 的希尔伯特类多项式 $H_{\mathcal{O}}(x)\in \mathbb{Z}[x]$，是以恰好具有由 $\mathcal{O}$ 复乘的椭圆曲线的不同 $j$-不变量为根的首一多项式。令 $p$ 为在 $K$ 中惰性且严格大于 $|\operatorname{disc}(\mathcal{O})|$ 的素数。我们通过给出 $\operatorname{Pic}(\mathcal{O})[2]$ 在 $H_\mathcal{O}(x)\!\! \pmod p$ 的 $\mathbb{F}_p$-根集合上的自由传递作用（当其非空时），证明 $H_\mathcal{O}(x)\!\! \pmod{p}$ 的 $\mathbb{F}_p$-根个数为零或 $|\operatorname{Pic}(\mathcal{O})[2]|$。我们也给出了该 $\mathbb{F}_p$-根集合非空的明确判据。类似结果首先由 Xiao 等人 [Int. J. Number Theory, DOI: 10.1142/S1793042122500555] 获得，并由 Li 等人 [arXiv:2108.00168] 以不同方法作了远更一般的推广（涵盖了当前结果）。