关于 1 维和 2 维中偶 s-凹函数的 Mahler 猜想

在本文中，对于 $n=1$ 和 $2$ 且 $s>-1/n$ 的情况，我们建立了 $n$ 维中 $s$-凹偶函数的 Mahler 猜想的几种精确形式，从而推广了我们之前在 \cite{FN} 中关于 2 维对数凹偶函数（对应于 $s=0$ 的情形）的结果。偶 $s$-凹函数 $g$ 的泛函体积积为 $$\int_{\mathbb{R}^{n}}g(x)dx\int_{\mathbb{R}^{n}}\mathcal{L}_{s}g(y)dy,$$ 其中 $\mathcal{L}_{s}g$ 是与 $g$ 相关联的 $s$-极函数。偶 $s$-凹函数的 Mahler 猜想的类比推测，对于任何 $s>-1/n$，该量在立方体的指示函数处取得最小值。在 $n=1$ 维中，我们对所有 $s\in(-1,0)$ 证明了该猜想（$s\ge0$ 的情形已由第一作者与 Mathieu Meyer 在 \cite[page 17]{FM10} 中建立）。在 $n=2$ 维中，我们仅考虑 $1/s\in\mathbb{Z}$ 的情形：对于 $s>0$，我们对一般的 $s$-凹偶函数建立了 Mahler 猜想；对于 $s<0$，情况更为复杂，我们仅对满足 $g^s$ 在每个方向上都存在渐近线的 $s$-凹函数 $g$ 证明了一个精确的不等式。请注意，当 $s<0$ 时，考虑这组函数是非常自然的，因为它是 $s$-凹函数中在 $s$-对偶下保持稳定的最大子集。