关于两性Hunter-Saxton系统的Mané临界值及无限维磁性Hopf-Rinow定理
偏微分方程分析
2026-04-21 v4 微分几何
动力系统
辛几何
摘要
本文引入一套偏微分方程组，称为磁性两性Hunter-Saxton系统（M2HS）。该系统可在配备右不变度量的无限维Lie群上表述为磁性测地运动方程，其中该度量称为 -度量，与无限维Fisher-Rao度量密切相关，磁场由无限维contact型形式的导数给出。我们在Hilbert流形上对精确磁性系统定义Mané临界值，并为(M2HS)明确计算该值。此外，我们建立了该磁性系统的无限维Hopf-Rinow定理，其中Mané临界值作为Hopf-Rinow定理不再成立的阈值。这种几何框架使我们能够彻底分析(M2HS)解的 blow-up 行为。通过引入并证明全局保守弱解的存在，本文扩展了解的范围。该扩展通过将Mandelung变换从等距映射扩展为磁性映射实现，将磁性系统嵌入以标准contact形式导数作为磁场的无限维球面上的磁性系统。关键在于，该设置可通过动力学约化定理简化为一个完全磁性的三维球，从而更深入地理解其内在动力学。
引用
@article{arxiv.2503.12901,
title = {On Ma\~n\'e's critical value for the two-component Hunter-Saxton system and a infnite dimensional magnetic Hopf-Rinow theorem},
author = {Levin Maier},
journal= {arXiv preprint arXiv:2503.12901},
year = {2026}
}
备注
30 pages, 3 figures. Version 4 adds references and includes minor editorial revisions. Comments are welcome!