关于Kac混沌及相关问题

本文致力于建立与M. Kac在研究$N$个不可区分粒子的平均场极限时首次提出的混沌概念相关的定量和定性估计。首先，我们定量地比较了Kac混沌的三种常用度量，一些涉及所有$N$个变量，另一些涉及有限固定数量的变量。接下来，我们以Carlen等人(KRM 2010)定义的方式定义了熵混沌和Fisher信息混沌。我们证明Fisher信息混沌强于熵混沌，而熵混沌又强于Kac混沌。更重要的是，借助Otto-Villani的HWI不等式，我们建立了这些量之间的定量估计，这特别断言Kac混沌加上Fisher信息界蕴含熵混沌。然后，我们将上述关于混沌的定量和定性结果推广到支撑在Kac球面上的概率测度的框架中。除了上述工具外，我们还使用并证明了对于具有有限6阶矩和有限$L^p$范数（对于某个$p>1$）的分布，在$L^\infty$范数下的最优速率局部中心极限定理。最后，我们研究了在不假设混沌的情况下，在De Finetti、Hewitt和Savage引入的概率测度混合的背景下如何使用我们的技术。特别地，我们定义了混合的（第3级）Fisher信息，并证明它是下半连续和仿射的，正如之前对第3级玻尔兹曼熵所做的那样。