关于非线性微分方程计算混沌解的可靠性

本文引入了一个新概念，即临界可预测时间 $T_c$，以更精确地描述非线性微分方程的计算混沌解：建议当 $t > T_c$ 时，计算混沌解是不可靠和可疑的。这为我们提供了一种从给定计算结果中检测可靠解的策略。通过这种方式，可以完全避免主要基于计算时间序列长期特性的计算现象，如计算混沌 (CC)、计算周期性 (CP) 和计算预测不确定性。因此，这个概念也为我们提供了一个时间尺度，以确定特定时间对于给定的非线性动力系统是否足够长。此外，利用符号计算软件作为工具，详细研究了数据不准确性和各种数值方案对临界可预测时间的影响。首次在相当大的区间 $0 \leq t < 1200$ 无量纲洛伦兹时间单位内获得了洛伦兹方程的可靠混沌解。研究发现，在数学上，要在如此长的时间内获得这样一个可靠的混沌解，所需的初始条件和每个时间步计算数据的精度非常高，以至于由于量子物理中的海森堡不确定性原理，这在物理上是不可能的。然而，这为我们提供了一个所谓的“混沌精度悖论”，它表明混沌的预测不确定性在物理上是不可避免的，并且即使是宏观现象本质上也可能是随机的，因此可以更经济地用概率来描述。