计算混沌还是数值误差

具有有限时间步长的离散数值方法是求解涉及非线性微分方程的初值问题的实用技术。这些方法似乎对混沌研究特别有用，因为目前没有解析混沌解。以著名的Lorenz方程为例，我们证明了数值计算结果及其相关的统计特性依赖于时间步长。这种行为有两个原因。首先，混沌微分方程是不稳定的，因此任何小误差都会在不稳定流形附近被指数放大。更严重且鲜为人知的原因是，与微分方程相关的奇点的稳定和不稳定流形可以形成虚拟分界线。虚拟分界线的存在意味着，由于离散数值方法的有限时间步长，计算轨迹有可能实际上穿过它。这种行为违反了微分方程的唯一性理论，并爆炸性地放大了数值误差。这些原因意味着，即使计算结果是有界的，在将其接受为微分方程真实解的有用数值近似之前，也应确定其对时间步长的独立性。然而，由于数值误差的这些指数和爆炸性放大，尚未找到独立于积分时间步长的微分方程的计算混沌解。因此，关于混沌微分方程计算的非周期解的报道仅仅是截断误差不稳定放大的结果，而不是相关微分方程的近似解。