非线性两时滞微分方程中的混沌与分岔分析

本文研究了在包含时间延迟的简单数学模型中，如何引发复杂且不规则行为（即混沌）。该模型是一种延迟微分方程，其当前变化率不仅取决于当前状态，还取决于两个不同时滞时间的历史状态。该系统由以下方程描述：\n\begin{equation} \dot{x}(t) = -\gamma x(t) + g\big(x(t - \tau_1)\big) - e^{-\gamma \tau_2}, g\big(x(t - \tau_1 - \tau_2)\big), \qquad 0 < \alpha \le 1, \end{equation}其中 $g(x)=k \sin{x}, k\in\mathbf{R}$。这里，延迟 $\tau_1$ 和 $\tau_2$ 表示系统中的记忆效应，而正弦项引入了强非线性。通过数值仿真研究不同参数值下的系统行为。使用 Lyapunov 指数和相图识别混沌运动，这些图表显示系统具有不规则且不可预测的动力学。在某些参数范围内，系统表现出多滚动混沌吸引子，其中运动在多个复杂模式之间交替。最后，通过添加一个简单的线性反馈项来控制混沌，该反馈抑制了不规则振荡并稳定了系统。此外，还研究了使用线性状态反馈控制的主从系统之间的同步问题，推导并数值验证了同步的时延无关充分条件。结果表明，even complex delayed systems can be effectively controlled and synchronized using simple feedback techniques. 进一步地，对该系统的分数阶版本进行研究，以检验记忆效应的影响，观察到即使在较低的分数阶情况下，混沌行为仍可持续存在。