关于 Cayley 表的不变量量

设 $G$ 为一个阶为 $n$ 的有限阿贝尔群，记其 Cayley 表为 $\mathcal M_G=(x_{a+b})_{a,b\in G}$。记 $\text{imm}_\lambda(\mathcal M_G)$ 为 $\mathcal M_G$ 相对于分划 $\lambda$ 的不变量量，记 $\mathcal I_\lambda(G)$ 为 $\text{imm}_\lambda(\mathcal M_G)$ 中形式上不同单项式的个数（特别地，为简化记号，$\mathcal P(G)$（resp. $\mathcal D(G)$）分别对应 $\text{per}(\mathcal M_G)$（resp. $\text{det}(\mathcal M_G)$）的相应量。$\mathcal P(G)$ 和 $\mathcal D(G)$ 的研究位于代数组合学和加法组合学的交叉点上。本文我们证明了以下结果。(1) 若 $|G|$ 为素数次方，则 $\mathcal P(G)=\mathcal D(G)$。(2) 若 $|G|$ 为奇数，则 $\mathcal I_{(n-1,1)}(G)= \mathcal I_{(2,1^{n-2})}(G)=0$，且若 $|G|\equiv 2\pmod 4$，则 $\mathcal I_{(n-1,1)}(G)=\mathcal P(G)\quad \text{且} \quad \mathcal I_{(2,1^{n-2})}(G)=\mathcal D(G)$。(3) 若 $|G|$ 为奇数且 $|G|\ge 7$，则 $\text{imm}_{(4,1^{n-4})}(\mathcal M_G)=\text{imm}_{(2,2,2,1^{n-6})}(\mathcal M_G)$。