关于 Gabitov--Turitsyn 方程的不适定性

我们研究了 Gabitov--Turitsyn 方程的适定性和不适定性理论，该方程描述了色散管理光纤中脉冲的长时间动力学。我们识别了两个关键的正规性，对应于两个缩放伪对称性，它们划分了不适定性的区域。首先，我们识别出 $s_m = \tfrac{d}{2} - \tfrac{2}{p}$，与单项式 NLS 一致。对于 $s \geq \max(s_m,0)$，已知 $H^s$ 中局部适定性成立，而对于 $s < s_m$，我们证明数据到解的映射在 $H^s$ 中不是 $C^{p+1}$ 的。第二，我们识别出 $s_i = \tfrac{d}{2} - \tfrac{4}{p}$，低于该值我们猜想会出现范数膨胀。我们在 $s < \min(s_i, 0)$ 的情况下——具体来说是一维三次模型——以及在 $1 \leq s < s_i$ 的情况下解决了这个猜想。在 $s_i \geq 1$ 的情况下，我们通过证明合适解经历能量均分来建立范数膨胀：动能和势能的快速重正化。