关于 $\mathbb{P}^r$ 爆破中的 $(i)$-曲线

本文研究在一般点处爆破的射影空间 $\mathbb{P}^r$ 中 $i\in \{-1, 0, 1\}$ 的 $(i)$-曲线。$(-1)$-曲线的概念由 Kontsevich 在镜像对称的早期为计数 Calabi-Yau 三重上的曲线而分析。在二维情形，Nagata 研究了平面 $(-1)$-曲线以构造 Hilbert 第 14 问题的反例。我们引入 $\mathbb{P}^r$ 中爆破 $s$ 个点的 $(0)$-和 $(1)$-曲线类的概念，并证明它们的数量有限当且仅当该空间是 Mori Dream Space。我们进一步在曲线空间上引入一个双线性型，以及一个唯一的对称 Weyl 不变类 $F$（我们称之为反典则曲线类）。对于 Mori Dream Space，我们证明 $(-1)$-曲线可由该双线性型决定的线性和二次不变量算术地定义。此外，$(0)$-和 $(1)$-Weyl 直线给出爆破 $r+3$ 个点的 $\mathbb{P}^r$ 中可动曲线锥的极值射线。作为应用，我们利用可动曲线技术重新证明若 $F^2\leq 0$ 则 $Y$ 不是 Mori Dream Space，并提议将此技术应用于其他空间。