关于高维复Plateau问题

设$X$为$\mathbb{C}^{N}$中实维数$2n-1$的紧连通强伪凸$CR$流形。寻找复Plateau问题的内在光滑性判据一直是个有趣的问题。对于$n\ge 3$且$N=n+1$，Yau在1981年借助$X$上的Kohn--Rossi上同调群，找到了复Plateau问题的Harvey-Lawson解内部正则性的充要条件。对于$n=2$且$N\ge n+1$，第一和第三作者引入了$X$的一个新CR不变量$g^{(1,1)}(X)$。该不变量的消失将给出Harvey-Lawson解在规范化意义下的内部正则性。对于$n\ge 3$且$N>n+1$，问题仍然开放。在本文中，我们将不变量$g^{(1,1)}(X)$推广到高维$g^{(\Lambda^n 1)}(X)$，并证明若$g^{(\Lambda^n 1)}(X)=0$，则内部至多具有有限个有理奇点。特别地，若$X$是实维数$5$的Calabi--Yau流形，则该不变量的消失等价于给出在规范化意义下的内部正则性。