高维 H-系统探讨：已知结果、新事实与相关开放问题

本文讨论在维度 $n\ge 3$ 下，具有临界非线性的非线性共形不变椭圆系统正则性理论中两个著名的开放问题：$H$-系统（预定平均曲率超曲面方程）和到紧黎曼流形的 $n$-调和映射。对于 $n=2$，这些问题已有若干解决方案，但在更高维度下均失效（除非考虑特殊情况，例如常平均曲率超曲面或具有对称性的流形）。我们讨论了一些已知的证明并指出主要困难。我们还陈述了一些新结果（例如对于偶数 $n$，对 $W^{n/2,2}$ 类的所有解给出了肯定答案，而非 $W^{1,n}$），并列出了一些具有独立意义的开放问题——包括 Coifman-Rochberg-Weiss 定理的特定端点变体，涉及分数次和奇异积分与 $W^{1,n}$ 类有界函数相乘的交换子的有界性——这些问题将导向上述两个问题的解决。