关于 2 次 Hermite Eisenstein 级数

我们考虑与虚二次数域 $\mathbb{K}$ 相关的 2 次、权 $k$ 的 Hermite Eisenstein 级数 $E^{(\mathbb{K})}_k$，并确定 $\mathbb{K}$ 对其 Fourier 系数的算术性质与增长的影響。我们发现，当且仅当 $\mathbb{K} = \mathbb{Q} (\sqrt{-3})$ 时，它们满足恒等式 $E^{{(\mathbb{K})}^2}_4 = E^{{(\mathbb{K})}}_8$，而该恒等式对 2 次 Siegel 模形式是众所周知的。作为一个应用，我们证明当 $\mathbb{K}\neq \mathbb{Q}(\sqrt{-3})$ 时，Eisenstein 级数 $E^{(\mathbb{K})}_k$，$k=4,6,8,10,12$ 代数无关。Siegel 形式与 Hermite 形式在 Siegel 上半空间限制之间的差，是 Maass 空间中的一个尖形式，在权充分大时不恒为零；然而，当权固定时，我们将看到当判别式趋于 $-\infty$ 时它趋于 $0$。最后，我们证明当 $\mathbb{K}$ 取遍虚二次数域时，这些形式作为 Hecke 代数上的模生成 Maass Spezialschar 中的尖形式空间。