论秩3李代数的广义Melvin解

本文考虑了秩为3的李代数 $A_3$、$B_3$ 和 $C_3$ 的广义Melvin解。任何解都包含度量、三个阿贝尔2-形式和三个标量场。它由三个模函数 $H_1(z),H_2(z),H_3(z)$（$z = \rho^2$ 且 $\rho$ 为径向变量）控制，这些函数满足带有特定边界条件的三个微分方程。对于李代数 $A_3$、$B_3$、$C_3$，这些函数分别是幂次为 $(n_1,n_2, n_3) = (3,4,3), (6,10,6), (5,8,9)$ 的多项式。这些解依赖于非零积分常数 $q_1, q_2, q_3$。多项式在大 $z$ 处的幂律渐近关系由整数值 $3 \times 3$ 矩阵 $\nu$ 控制，对于李代数 $B_3$ 和 $C_3$，该矩阵等于Cartan矩阵逆矩阵的两倍 $2 A^{-1}$；而在 $A_3$ 情形下 $\nu = A^{-1} (I + P)$，其中 $I$ 为单位矩阵，$P$ 为对应于Dynkin图 $\mathbb{Z}_2$ 对称群生成元的置换矩阵。我们得到了多项式的对偶恒等式以及解在大距离处的渐近关系。给出了半径为 $R$ 的二维圆盘上的2-形式通量积分以及半径为 $R$ 的圆上相应的Wilson loop因子。