Rahman多项式与李代数sl_3(C)

我们用李代数$sl_3(C)$来解释Rahman多项式。利用多项式的参数，我们为$sl_3(C)$定义了两个Cartan子代数，记为$H$和$\tilde{H}$。我们展示了$sl_3(C)$的一个反自同构$\dagger$，它固定了$H$的每个元素和$\tilde{H}$的每个元素。我们考虑一个特定的有限维不可约$sl_3(C)$-模$V$，它由三个变量的齐次多项式组成。我们在$V$上展示了一个非退化的对称双线性型$<,>$，使得对于所有$\beta \in sl_3(C)$和$\xi,\zeta \in V$，有$<\beta \xi,\zeta> = < \xi,\beta^\dagger \zeta>$。我们展示了$V$的两组基；一组对角化$H$，另一组对角化$\tilde{H}$。这两组基关于$<,>$都是正交的。我们证明，当$<,>$作用于每组基中的一个向量时，结果是一个平凡因子乘以在适当参数处求值的Rahman多项式。因此，两组基之间的每个转移矩阵的条目都由一个Rahman多项式描述。从这些结果中，我们恢复了先前已知的Rahman多项式的正交关系。我们还得到了Rahman多项式满足的两个七项递推关系，以及其对偶多项式满足的相应关系。这些递推关系表明Rahman多项式是双谱的。在我们的理论中，$H$和$\tilde{H}$的角色是可互换的，对我们来说，这解释了Rahman多项式的对偶性和双谱性。我们将$H$和$\tilde{H}$在$V$上的作用视为Leonard对的秩2推广。