关于广义扩展Blaum-Roth码

扩展Blaum-Roth（EBR）码由 $n\times n$ 数组构成，使得斜率为 $i$（$0\leq i\leq r-1$，$2\leq r<n$）的线以及竖直线具有偶校验。当且仅当 $n$ 为素数时，这些码关于列是MDS的，即能恢复任意 $r$ 个被擦除的列。近来提出了EBR码的一种推广，称为广义扩展Blaum-Roth（GEBR）码。GEBR码由 $p\tau\times (k+r)$ 数组构成，其中 $p$ 为素数且 $\tau\geq 1$，使得斜率为 $i$（$0\leq i\leq r-1$）的线具有偶校验，且数组中每一列视为多项式时均为 $1+x^{\tau}$ 的倍数。特别地，已证明当 $p$ 为奇素数、2在 $GF(p)$ 中为原根且 $\tau = p^j$（$j\geq 0$）时，由 $p\tau\times (p-1)\tau$ 数组构成的GEBR码是MDS的。我们进一步推广该结果，证明由 $p\tau\times p\tau$ 数组构成的GEBR码是MDS的当且仅当 $\tau = p^j$，其中 $0\leq j$ 且 $p$ 为任意奇素数。