广义扩展Blaum-Roth码与广义Blaum-Roth码的MDS条件及擦除线恢复

广义扩展Blaum-Roth（GEBR）码[1]专为大规模分布式存储系统设计，与局部可恢复码（LRC）相比，其对单符号失效、多列失效和多行失效具有更强的可恢复性。GEBR码将一个$\alpha\times k$信息阵列编码为一个$p\tau\times (k+r)$阵列，使得斜率为$i$（$0\leq i\leq r-1$）的线具有偶校验，且每一列包含$p\tau-\alpha$个局部校验符号，其中$p$为奇素数且$k+r\leq p\tau$。文献[2]针对$\alpha=(p-1)\tau$给出了GEBR码为$(n,k)$可恢复（即$n=k+r$列中任意$k$列可恢复所有信息符号）的充要条件。然而，当$\alpha<(p-1)\tau$时，GEBR码的$(n,k)$可恢复条件尚属未知。本文给出了$\alpha< (p-1)\tau$时GEBR码的$(n,k)$可恢复条件。此外，当$\tau$为$p$的幂时，我们给出了使GEBR码能够恢复任意斜率$i$（$0\leq i\leq p\tau-1$）的某些擦除线的充分条件（对任意参数$r$）。进而，我们给出了广义Blaum-Roth（GBR）码的构造，其将一个$\alpha\times k$信息阵列编码为一个$\alpha\times (k+r)$阵列。我们证明了GBR码具有与GEBR码的$(n,k)$可恢复条件相同的MDS条件，并给出了GBR码恢复任意斜率$i$（$0\leq i\leq \alpha-1$）的某些擦除线的充分条件。