关于乘积拓扑下的最大可恢复码

给定局部奇偶校验约束的拓扑，最大可恢复码（MRC）能够纠正所有在信息论上可纠正的删除模式。在网格状拓扑中，每一列有 $a$ 个局部约束构成列码，每一行有 $b$ 个局部约束构成行码，并且在 $(m \times n)$ 的码字网格中有 $h$ 个全局约束。近来，Gopalan 等人开创了对网格状拓扑下 MRC 的研究，并推导出了当 $a=1, h=0$ 时删除模式可恢复的一个充要条件，称为正则条件。本文考虑乘积拓扑（$h=0$）下的 MRC。首先，我们基于满足乘积拓扑（任意 $a, b$，$h=0$）正则条件的删除模式构造一个二部图，并证明该图中存在完全匹配。随后我们给出当 $a=1, h=0$ 时充分条件的另一种直接证明。后来我们将该技术推广到 $a=2, h=0$ 的拓扑，并刻画了该情形下可恢复删除模式的一个子集。对于 $a=1, 2$，我们的证明方法是统一的，即通过构造列码与行码生成矩阵的张量积 $G_{\text{col}} \otimes G_{\text{row}}$，使得某些方阵子矩阵保持满秩。满秩条件通过先前识别的匹配以及删除子模式中的另一组匹配得以证明。