基于特殊多项式环的变体码及其快速计算

二进制阵列码广泛用于存储系统以防止数据丢失，例如独立冗余磁盘阵列（RAID）。此类码的大部分设计，如 Blaum-Roth（BR）码和独立奇偶（IP）码，是在多项式环 F_2[x]/<\sum_{i=0}^{p-1}x^i > 上实现的，其中 F_2 为二进制域，p 为素数。本文考虑多项式环 F_2[x]/<\sum_{i=0}^{p-1}x^{i\tau}>，其中 p>1 为奇数，\tau \geq 1 为任意 2 的幂，并探索该多项式环上码的变体码。具体地，变体码通过将多项式环上的校验矩阵映射到二进制校验矩阵得到。具体而言，我们首先提出两类变体码，称为 V-ETBR 与 V-ESIP 码。为使这些变体码成为达到最优存储效率的二进制最大距离可分（MDS）阵列码，本文进而推导了它们与多项式环上对应码之间的联系。这些联系具有一般性，使得易于从多项式环上各种形式的矩阵构造变体 MDS 阵列码。随后，基于柯西与范德蒙德矩阵显式构造了一些实例。在所提构造中，V-ETBR 与 V-ESIP MDS 阵列码均可具有任意数量的奇偶列，且数据列总数关于 $p$ 呈指数阶。在计算方面，针对基于范德蒙德的 V-ETBR 与 V-ESIP MDS 阵列码提出了两种快速伴随式计算，均达到 MDS 码中已知最低渐近复杂度。由于所有变体码均由简单二进制域而非多项式环上的校验矩阵构造，它们在实践中颇具吸引力。