关于一般纤维积环、Poincaré 级数及其结构

本文研究一般纤维积环 $R\times_TS$ 的结构，其中 $R$、$S$ 和 $T$ 是具有公共剩余域的局部环。我们证明了纤维积环 $R\times_TS$ 上任意 $R$-模的 Poincaré 级数受限于一个有理函数。此外，我们给出了 ${\rm depth}(R\times_TS)$ 的刻画，这是该理论中的一个开放问题。作为副产品，利用所获得的 $R\times_TS$ 上 Betti 数的表征，我们提供了 $R\times_TS$ Cohen-Macaulay 性的若干情形，特别地，我们证明了 $R\times_TS$ 始终是非正则的。此外，还确立了 $R\times_TS$ 上 Buchsbaum-Eisenbud-Horrocks 和全秩猜想的某些肯定回答。