关于有限表示型环的 $G(A)_\mathbb{Q}$

设 $(A,\mathfrak{m})$ 为有限表示型的优秀 Henselian Cohen-Macaulay 局部环。若已知 $A$ 的 AR-箭图，则由 Auslander 与 Reiten 的一个结果可显式计算有限生成 $A$-模的 Grothendieck 群 $G(A)$。若 AR-箭图未知，则本文在 $k = A/\mathfrak{m}$ 为完美域时给出 $G(A)_\mathbb{Q} = G(A)\otimes_\mathbb{Z} \mathbb{Q}$ 的估计。作为一个应用，我们证明：若 $A$ 是特征相等的优秀 Henselian Gornstein 局部环、正偶数维、且 $\text{char} \ A/\mathfrak{m} \neq 2,3,5$（且 $A/\mathfrak{m}$ 完美），则 $G(A)_\mathbb{Q} \cong \mathbb{Q}$。