良与坏阿廷戈伦斯坦局部环的研究

我们说局部环 $R$ 是良的（good，在 Roos 意义上），如果所有有限生成 $R$-模具有有理 Poincaré 级数且共享一个公分母；否则称 $R$ 为坏的（bad）。良环的一个重要类别是广义 Golod 环。本文中，我们证明阿廷戈伦斯坦广义 Golod 环的连通和是良的。我们提供了将阿廷戈伦斯坦局部环分解为连通和的判据。作为一个关键应用，我们证明具有极大理想 $\mathfrak{m}$ 的戈伦斯坦局部环 $R$ 在以下任一条件下是良的：(1) $R$ 的重数至多为 $12$ 且其 $h$-向量不同于 $(1, 5, 5, 1)$；(2) $\mathfrak{m}^4 = 0$ 且 $\mathfrak{m}^2$ 由至多四个元素生成。上述结果记录了在解决 L.~Avramov 提出的一个问题上的部分进展。我们还给出了重数大于等于 $18$ 的坏阿廷戈伦斯坦局部环的例子。在所有这些情况下，建立环为良的结果都是通过证明这些环是广义 Golod 环而获得的。