关于寻找局部可恢复码的最大最小距离
信息论
2018-09-26 v1 math.IT
摘要
本工作所研究的 (n, k, r)-局部可恢复码（LRC）是 (n, k) 线性码，其中每个坐标的值都可由至多 r 个其他坐标的线性组合恢复。在本文中，我们感兴趣的是寻找 (n,k,r)-LRC 的最大可能最小距离，记为 D(n,k,r)。我们将求 D(n,k,r) 值的问题称为最大最小距离（LMD）问题。LMD 可在加性误差 1 内近似；文献中已知 D(n,k,r) 等于 d* 或 d*-1，其中 d*=n-k-ceil(k/r) +2。此外，文献中已对部分码参数 n、k 和 r 的范围求解了 LMD。然而，对于一般码参数，LMD 仍未解决。在本工作中，我们将 LMD 转化为图论中一个表述简单的问题，并证明这两个问题等价。事实上，我们表明求解所导出的图论问题不仅解决了 LMD，还直接对应于最优 LRC 的构造。利用这些新结果，我们展示了如何轻松推导现有关于 LMD 的结论并加以推广。此外，我们展示了 LMD 与极值图论中一个具有挑战性的开放问题之间的密切联系；这表明对于一般码参数，LMD 或许难以求解。
引用
@article{arxiv.1809.09227,
title = {On Finding the Largest Minimum Distance of Locally Recoverable Codes},
author = {Majid Khabbazian},
journal= {arXiv preprint arXiv:1809.09227},
year = {2018}
}