局部可修复码的重量层级

一个 $(n,k,r)$ \emph{局部可修复码}（LRC）是一个 $[n,k,d]$ 线性码，其中每个码符号最多可由 $r$ 个其他码符号修复。若最小距离达到类 Singleton 界 $d \le n-k-\lceil k/r \rceil +2$，则称该 LRC 是最优的。线性码的 \emph{广义汉明重量}（GHWs）是具有许多有用应用的基本参数。通常确定线性码的 GHWs 是困难的。本文研究 LRC 的 GHWs。首先，我们获得了一般 $(n,k,r)$ LRC 的第 $i$-个 $(1\le i \le k)$ GHWs 的一个广义类 Singleton 界。然后，证明了对于满足 $r \mid k$ 的最优 $(n,k,r)$ LRC，其重量层级可被完全确定，且满足条件的最优 LRC 的第 $i$ 个 GHW 对所有 $1\le i \le k$ 均达到所提出的广义类 Singleton 界。对于满足 $r \nmid k$ 的最优 $(n,k,r)$ LRC，我们给出了该 LRC 及其对偶码的 GHWs 的下界。最后，给出了两个基于 GHWs 的线性码的一般界。此外，还表明先前关于线性码最小距离界的一些结果也可通过 GHWs 得到解释或改进。